简介
2-SAT (2-satisfiability) 问题形如:
- 给定一些变量 \(x_i \in {true,false}\);
- 给定一些一元/二元约束条件,如 \(x_i \land \lnot x_j\),利用 \(\land\) 连接;
- 为每一个变量赋一个值,满足所有约束条件.
将第2条改为n元约束条件,即为 N-SAT 问题.
可以证明 N-SAT 问题没有多项式解法,但 2-SAT 问题有 \(O(n + m)\) 的解法.
算法
对每个变量建立两个点: \(x_i\),\(x_i'\),表示取真或假.
根据约束条件建立若干条边 \((p,q)\),表示若选 \(p\) 则必须选 \(q\). (见下)
将得到的图缩点. 若 \(x_i\) 和 \(x_i'\) 在同一个强连通分量内,则无解.
否则,若 \(x_i\) 的所在强连通分量的拓扑序大于 \(x_i'\),则选 \(x_i\); 否则选 \(x_i'\).
我们知道tarjan算法求出的强连通分量标号为强连通分量拓扑序的逆序. 因此判断 \(scc_{x_i} < scc_{x_i'}\) 即可.
建边
- 一元逻辑
- \(p\): \((p',p)\);
- \(\lnot p\): \((p,p')\).
- 二元逻辑 (\(p\) 和 \(\lnot p\) 是一样的,下面仅描述 \(p\) 的情况)
- \(p \rightarrow q\): \((p,\((q',p')\);
- \(p \land q\): 等价于 \(p\),\(q\);
- \(p \lor q\): \((p',p)\) (等价于 \(\lnot p \rightarrow q\));
- \(p \oplus q\): \((p,q')\),\((p',\((q,p')\),p)\). (xor)
容易发现所有二元逻辑都会建立若干对边,这称作2-SAT问题的对称性,是算法正确的关键.
代码
int chos[nsz]; int dfn[nsz*2],pd=0,low[nsz*2],inscc[nsz*2],ps=0; int stk[nsz*2],top=0,vi[nsz*2]; void tarj(int p){ dfn[p]=low[p]=++pd; stk[++top]=p,vi[p]=1; for(auto v:edge[p]){ if(dfn[v]==0){ tarj(v); low[p]=min(low[p],low[v]); } else if(vi[v])low[p]=min(low[p],dfn[v]); } if(low[p]==dfn[p]){//scc ++ps; int v; do{ v=stk[top]; inscc[v]=ps,vi[v]=0,--top; }while(v!=p); } } bool sat2(){//toefl ielts sat rep(i,2,n*2+1)if(dfn[i]==0)tarj(i); rep(i,1,n){ if(inscc[i<<1]==inscc[i<<1|1])return 0;//no solution chos[i]=inscc[i<<1|1]<inscc[i<<1]; } return 1; }