数据结构：堆的基本原理以及堆排序

什么是堆？

堆(Heap)是一种重要的数据结构，是实现优先队列(Priority Queues)首选的数据结构。堆有很多种变体，包括二项式堆、斐波那契堆等，但是这里只考虑最常见的二叉堆。

堆是一棵满足如下性质的二叉树：

1. 父节点的键值总是不大于它的孩子节点的键值（小顶堆）。
2. 父节点的键值总是不小于它的孩子节点的键值（大顶堆）。

由于堆是一棵形态规则的二叉树，因此堆的父节点和孩子节点存在如下关系（根节点编号为0）：
设父节点的编号为 i,则其左孩子节点的编号为2i+1,右孩子节点的编号为2i+2
设孩子节点的编号为i,则其父节点的编号为(i-1)/2
由于上面的性质，父节点一定比他的儿节点小（大），所以整个树的树根的值一定是最小（最大）的，那么我们就能在O(1)的时间内，获得整个堆的极值。

堆的相关操作：

• 插入 - add(element)
  时间复杂度：O(logn)，先满足 结构特性（保证O(logn) 的特性），后满足 值特性，先无视值，放在底下的位置上，后往上遍历，直到遇到合适的位置。

• 取出 - poll()
  时间复杂度：O(logn)，先满足 结构特性（保证O(logn) 的特性），后满足 值特性，先将堆顶的值和堆底的值进行交换，再讲堆底的值（原堆顶）移除，后将堆顶的值（原堆底）往下遍历（与两个儿子中较小的进行交换），直到遇到合适的位置。

• 获得最大值or最小值
  时间复杂度：O(1)

如何在O(logn)取出堆的任意值？
需要HashMap的辅助，key为该堆中独特的识别符，value为在堆里的位置。

堆与优先队列的关系

优先队列是一种抽象的数据类型，它和堆的关系类似于，List和数组、链表的关系一样；我们常常使用堆来实现优先队列，因此很多时候堆和优先队列都很相似，它们只是概念上的区分。
优先队列的应用场景十分的广泛，常见的应用有：

• Dijkstra’s algorithm（单源最短路问题中需要在邻接表中找到某一点的最短邻接边，这可以将复杂度降低。）
• Huffman coding（贪心算法的一个典型例子，采用优先队列构建最优的前缀编码树(prefixEncodeTree)）
• Prim’s algorithm for minimum spanning tree（Prim的最小生成树算法）

在java，python中都已经有封装了的Priority Queue(Heaps)
优先队列是一个至少能够提供插入（Insert）和删除最小（DeleteMin）这两种操作的数据结构。对应于队列的操作，Insert相当于Enqueue，DeleteMin相当于Dequeue。

用堆实现优先的过程中，需要注意最大堆只能对应最大优先队列，最小堆则是对应最小优先队列。

什么是shiftup和shiftdown？

现在我们借助下面的问题，来理解shiftup和shiftdown的思想
给定一个数组A[]，我们的目的是要将 A[] 堆化，也就是让A[]满足以下要求：

A[i * 2 + 1] >= A[i]
A[i * 2 + 2] >= A[i]

• 基于 shiftup的版本 O(nlogn)

public class Solution {
    /**
     * @param A: Given an integer array
     * @return: void
     */
    private void siftup(int[] A, int k) {
        while (k != 0) {
            int father = (k - 1) / 2;
            if (A[k] > A[father]) {
                break;
            }
            int temp = A[k];
            A[k] = A[father];
            A[father] = temp;
            
            k = father;
        }
    }
    
    public void heapify(int[] A) {
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            siftup(A, i);
        }
    }
}

算法思路：
对于每个元素A[i]，比较A[i]和它的父亲结点的大小，如果小于父亲结点，则与父亲结点交换。
交换后再和新的父亲比较，重复上述操作，直至该点的值大于父亲。
时间复杂度分析：
对于每个元素都要遍历一遍，这部分是 O(n)
每处理一个元素时，最多需要向根部方向交换 logn次。
因此总的时间复杂度是 O(nlogn)

• 基于 Siftdown 的版本 O(n)

 public class Solution {
    /**
     * @param A: Given an integer array
     * @return: void
     */
    private void siftdown(int[] A, int k) {
        while (k * 2 + 1 < A.length) {
            int son = k * 2 + 1;   // A[i] 的左儿子下标。
            if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2])
                son = k * 2 + 2;     // 选择两个儿子中较小的。
            if (A[son] >= A[k])      
                break;
            
            int temp = A[son];
            A[son] = A[k];
            A[k] = temp;
            k = son;
        }
    }
    
    public void heapify(int[] A) {
        for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            siftdown(A, i);
        }
    }
}

Python版本：

import sys
import collections
class Solution:
    # @param A: Given an integer array
    # @return: void
    def siftdown(self, A, k):
        while k * 2 + 1 < len(A):
            son = k * 2 + 1    #A[i]左儿子的下标
            if k * 2 + 2 < len(A) and A[son] > A[k * 2 + 2]:
                son = k * 2 + 2    #选择两个儿子中较小的一个
            if A[son] >= A[k]:
                break
                
            temp = A[son]
            A[son] = A[k]
            A[k] = temp
            k = son
    
    def heapify(self, A):
        for i in range((len(A) - 1) // 2,-1,-1):
            self.siftdown(A, i)

算法思路： 初始选择最接近叶子的一个父结点，与其两个儿子中较小的一个比较，若大于儿子，则与儿子交换。 交换后再与新的儿子比较并交换，直至没有儿子。 再选择较浅深度的父亲结点，重复上述步骤。 时间复杂度分析 这个版本的算法，乍一看也是 O(nlogn)， 但是我们仔细分析一下，算法从第 n/2 个数开始，倒过来进行 siftdown。也就是说，相当于从 heap的倒数第二层开始进行 siftdown 操作，倒数第二层的节点大约有 n/4 个， 这 n/4 个数，最多 siftdown1次就到底了，所以这一层的时间复杂度耗费是 O(n/4)，然后倒数第三层差不多 n/8 个点，最多 siftdown2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2),倒数第4层是 O(n/16 * 3)，倒数第5层是 O(n/32 * 4) …
因此累加所有的时间复杂度耗费为： T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) …
然后我们用 2T- T 得到： 2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) …
T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) …
2 * T(n) - T(n) = O(n/2)+O (n/4) + O(n/8) + …
= O(n/2 + n/4 + n/8 + … )
= O(n)
因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)

堆排序

运用堆的性质，我们可以得到一种常用的、稳定的、高效的排序算法————堆排序。堆排序的时间复杂度为O(n*log(n))，空间复杂度为O(1)，堆排序的思想是：对于含有n个元素的无序数组nums,构建一个堆(这里是小顶堆)heap，然后执行extractMin得到最小的元素，这样执行n次得到序列就是排序好的序列。
如果是降序排列则是小顶堆；否则利用大顶堆。

Trick
由于extractMin执行完毕后，最后一个元素last已经被移动到了root，因此可以将extractMin返回的元素放置于最后，这样可以得到sort in place的堆排序算法。
当然，如果不使用前面定义的heap，则可以手动写堆排序，由于堆排序设计到建堆和extractMin， 两个操作都公共依赖于siftDown函数，因此我们只需要实现siftDown即可。(trick:由于建堆操作可以采用siftUp或者siftDown，而extractMin是需要siftDown操作，因此取公共部分，则采用siftDown建堆)。

public class Solution {
    private void siftdown(int[] A, int left, int right) {
        int k = left;
        while (k * 2 + 1 <= right) {
            int son = k * 2 + 1;
            if (son + 1 <= right && A[son] < A[son + 1]) {
                son = k * 2 + 2;
            }
            if (A[son] <= A[k]) {
                break;
            }
            int tmp = A[son];
            A[son] = A[k];
            A[k] = tmp;
            k = son;
        }
    }
    
    public void heapify(int[] A) {
        for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
            siftdown(A, i, A.length - 1);
        }
    }
    
    void sortIntegers(int[] A) {
        heapify(A);
        for (int i = A.length - 1; i > 0; i--) {
            int tmp = A[0];
            A[0] = A[i];
            A[i] = tmp;
            siftdown(A, 0, i - 1);
        }
    }
}