数据结构和算法：预排序遍历树算法

一、多级分类问题

在实际开发的过程中，会经常遇到多级分类的问题。譬如，导航栏、菜单、商品种类、多级联动、字典表等等的多级分类问题。这时可以新增一个 pid 字段进行数据关联，它本质上其实就是一棵树。树就可以很好的解决多级分类的子分类查询。

但是这种方式有一个致命的问题：查询效率过低！！！

当我们在程序里查询某个子节点时，要先从根节点进行递归查询，时间复杂度是 O(n)。

那么有没有一种方式，改进树的查询效率呢？答案是肯定的！很多树都在标准的树上进行改进过，比如二叉树、红黑树、堆等等。但这都不是重点，今天要分享的是 预排序遍历树算法(MPTT)。

MPTT 正是为了解决多层级关系数据的查询效率问题，它的时间复杂度竟然能高效到一个常量，即 O(1)。是不是很不可思议，接下来就让我们一起学习预排序遍历树算法，看下它到底是如何实现的。

二、预排序遍历树

预排序遍历树算法全称是：Modified Preorder Tree Traversal 简称 MPTT。

1. ORM 映射

class Tree(Base,BaseNestedSets):

    __tablename__ = 'tree'

    id = Column(Integer,primary_key=True,autoincrement=True)
    name = Column(String(8),nullable=True,default=None)

    def __repr__(self):
        return f'<Tree(id={self.id},name={self.name})>'

2. MPTT 分析

在上述代码中，只定义了两个字段： id、name。但是数据库里面却额外多出了 5个字段，分别是： lft、rgt、level、tree_id、parent_id。

这些多出来的字段就是为了定义树的结构和层级。下面我们就来分析一下，每个字段的作用是什么。

• tree_id：树的 id，用来区分数据库中众多树的某一颗树。

• level：一颗标准的树会有高度、深度、层级，根节点的层级是 1，子节点的层级是父节点层级加 1。

• parent_id：父 id，节点的父级 id，根节点没有父节点，所以值为 NULL。

• lft：节点左值。

• rgt：节点右值。

节点的左值和右值是 MPTT 的核心，也是这个算法实现特别巧妙的地方，将树遍历的时间复杂度降为 O(1)。接下来就重点分析一下左值与右值是如何进行树遍历的。

一颗标准的树结构：

数据库数据对应关系：

数据层次结构：

- 【1】
- - 【2】
- - - 【3】
- - 【4】
- - - 【5】
- - - 【6】
- - 【7】
- - - 【8】
- - - - 【9】
- - - 【10】
- - - - 【11】

遍历整棵树

遍历整棵树只需要查找 tree_id 等于 1 的条件即可

找到某节点下所有的子孙节点

查找节点 4 的所有子孙节点，以 4 作为参考点。左值大于 6 且右值小于 11 的所有子孙节点，就是节点 4 的所有子孙节点。

找到某节点下所有的子节点

查找节点 1 的所有子节点，以 1 作为参考点。tree_id 等于 1 且 level 等于 2。

查找某节点的路径

查找节点 9 的所有上级路径，以 9 作为参考点。左值小于 14 且右值大于 15 的所有节点，就是节点 ``9的路径。结果是：1 -> 7 -> 8 -> 9`。

3. MPTT 平衡算法

MPTT 在遍历的时候很快，但是其他的操作就会变得很慢，所以使用 MPTT 要尽量避免查询之外的其他操作。

那为什么除了查询操作其他的操作会很慢呢？

这是因为节点在插入、更新（移动）、删除会破坏树的平衡。所以在做这些操作的时候需要对数进行调整，达到新的平衡。

新增

以新增节点操作为例，算法可分解为以下几个步骤：

• 如果要在不存在的树中新增节点，即要创建一颗新树。那么它是没有 parent_id 的，所以 parent_id 值为 NULL，level 是 1，tree_id 是根据已有树的最大 tree_id 加 1。

• 如果要在已存在的树中新增节点。那么它的 parent_id 是父节点的 id，level 是父节点的 level 加 1，tree_id 和父节点保持一致。

• 修复被破坏平衡的其他节点的左值。大于 parent_id 右值的所有节点的左值加 2。

• 修复被破坏平衡的其他节点的右值。大于等于 parent_id 右值的所有节点的右值加 2。

删除

和增加类似，只不过删除一个节点以后对左值和右值进行相反的操作，即减 2。

更新（移动）

更新（移动）其实就是删除一个老节点，再新增一个新节点，具体算法参考上面的例子。

三、标准树和预排序遍历树的优劣对比

• 标准树：适用于增删 操作较多的场景，每次删改只需要修改一条数据。在查询方面，随着分类层级的增加邻接表的递归查询效率逐渐降低。

• 预排序遍历树：适用于查询操作较多的场景，查询的效率不受分类层级的增加的影响，但是随着数据的增多，每增删数据，都要同时操作多条受影响数据，执行效率逐渐下降。

没有完美的算法，在实际开发过程中具体要选择哪一种存储结构和算法，需要根据具体的应用场景来做选择。